Matematyka dla biednych

Bez płacenia za korepetycje.

← wróć do listy
Liczby rzeczywiste · poziom podstawowy

POTĘGI I PIERWIASTKI

Film do tej lekcji jest w przygotowaniu.
Wprowadzenie

POTĘGI I PIERWIASTKI

Wprowadzenie do tematuPOTĘGI I PIERWIASTKIwkrótce
Zadania8
Zadanie 1Liczba 34⋅933^4 \cdot 9^3 jest równa: A) 3103^{10} B) 3123^{12} C) 27727^7 D) 979^7
Zadanie 2Liczba 48−27\sqrt{48}-\sqrt{27} jest równa: A) 21\sqrt{21} B) 3\sqrt3 C) 232\sqrt3 D) 333\sqrt3
Zadanie 3Wykaż, że liczba 250+2512^{50}+2^{51} jest podzielna przez 3.
Zadanie 4Oblicz wartość wyrażenia 823⋅4−128^{\frac{2}{3}} \cdot 4^{-\frac{1}{2}}.
Zadanie 5Zapisz 4³·8² jako potęgę liczby 2.
Zadanie 6Uprość √72 + √50 − √8.
Zadanie 7Oblicz ³√(−27) + 16^(3/4).
Zadanie 8Co jest większe: 2³⁰ czy 3²⁰?
Ćwiczenia62Dodatkowe zadania do samodzielnego przećwiczenia.
Ćwiczenie 12³ · 2⁴
Ćwiczenie 25⁷ : 5⁵
Ćwiczenie 3(3²)³
Ćwiczenie 42⁻³
Ćwiczenie 5√9 · √16
Ćwiczenie 6(2³)²
Ćwiczenie 710⁰
Ćwiczenie 8√25 + √4
Ćwiczenie 93⁻²
Ćwiczenie 104^(1/2)
Ćwiczenie 114³ · 8² zapisz jako potęgę 2.
Ćwiczenie 12√72 + √50 − √8.
Ćwiczenie 1327^(2/3).
Ćwiczenie 14(√5 − 2)(√5 + 2).
Ćwiczenie 15√200.
Ćwiczenie 1616^(3/4) · 2⁻¹.
Ćwiczenie 17(2√3)².
Ćwiczenie 18√48 : √3.
Ćwiczenie 199^(3/2).
Ćwiczenie 20(√2 + 1)² − 2√2.
Ćwiczenie 21Wykaż, że 5⁴¹ + 5⁴² + 5⁴³ jest podzielne przez 31.
Ćwiczenie 22(√3 + √2)² − 2√6.
Ćwiczenie 23Usuń niewymierność: 6/√12.
Ćwiczenie 24Wykaż, że 2¹⁰⁰ − 2⁹⁹ = 2⁹⁹.
Ćwiczenie 25Oblicz: (√18 − √8)·√2.
Ćwiczenie 26Wykaż, że 3ⁿ⁺¹ + 3ⁿ jest podzielne przez 4 dla n naturalnego.
Ćwiczenie 27Usuń niewymierność: 4/(√6 + √2).
Ćwiczenie 28Oblicz: 2⁻¹ + 2⁻² + 2⁻³ (zapisz jako ułamek).
Ćwiczenie 292³·2⁴
Ćwiczenie 305⁷:5⁵
Ćwiczenie 31√9·√16
Ćwiczenie 32√25+√4
Ćwiczenie 332⁵·2⁻²:2
Ćwiczenie 34(5³)²·5
Ćwiczenie 35√48:√3
Ćwiczenie 3627^(2/3)
Ćwiczenie 37(√5−2)(√5+2)
Ćwiczenie 38√200
Ćwiczenie 3916^(3/4)·2⁻¹
Ćwiczenie 40(2√3)²
Ćwiczenie 419^(3/2)
Ćwiczenie 42(√2+1)²−2√2
Ćwiczenie 435⁴·5⁻²
Ćwiczenie 44(3²)³:3⁴
Ćwiczenie 45√300
Ćwiczenie 46³√(−216)
Ćwiczenie 4764^(2/3)
Ćwiczenie 48(√11−√3)(√11+√3)
Ćwiczenie 49√180
Ćwiczenie 5032^(2/5)
Ćwiczenie 51Wykaż, że 5⁴¹+5⁴²+5⁴³ dzieli się przez 31
Ćwiczenie 52(√3+√2)² − 2√6
Ćwiczenie 53Usuń niewymierność: 6/√12
Ćwiczenie 54Usuń niewymierność: 4/(√6+√2)
Ćwiczenie 55Usuń niewymierność: 6/(√7−1)
Ćwiczenie 56Wykaż, że 2¹⁰⁰ − 2⁹⁹ = 2⁹⁹
Ćwiczenie 57(√18−√8)·√2
Ćwiczenie 582⁻¹+2⁻²+2⁻³ (jako ułamek)
Ćwiczenie 59Między jakimi liczbami całkowitymi leży √85?
Ćwiczenie 60Co większe: 3√5 czy 5√2?
Ćwiczenie 61Co większe: 2⁴⁰ czy 3²⁵? (porównaj 2⁸ i 3⁵)
Ćwiczenie 62Między jakimi liczbami leży ³√100?

Teoria

Potęga to skrót wielokrotnego mnożenia. Wykładnik może być naturalny, całkowity ujemny albo wymierny — wtedy zamienia się w pierwiastek. Pierwiastek to działanie odwrotne do potęgowania.

Trzy rzeczy do podkreślenia:

Pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych istnieją: ³√(−8) = −2, bo (−2)³ = −8. Parzystego stopnia z liczby ujemnej — nie istnieją w zbiorze liczb rzeczywistych.

Monotoniczność potęgowania pozwala porównywać bez liczenia: gdy a > 1 i x < y, to aˣ < aʸ. Gdy 0 < a < 1 — nierówność się odwraca.

Szacowanie: √50 leży między 7 a 8, bo 49 < 50 < 64.

Wzory

an=a⋅a⋅…⋅a⏟n razya^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\ \text{razy}}
a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|
dla a≠0a \neq 0: a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^n} oraz a0=1a^0 = 1
dla a≥0a \geq 0: amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}
dla a>0a > 0: a−mn=1amna^{-\frac{m}{n}} = \dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}
ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s}
aras=ar−s\dfrac{a^r}{a^s} = a^{r-s}
(ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s}
(a⋅b)r=ar⋅br(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r
(ab)r=arbr\left(\dfrac{a}{b}\right)^r = \dfrac{a^r}{b^r}

Najczęstsze błędy